抛物线焦点弦常用结论及推导

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抛物线焦点弦常用结论及推导如下：

抛物线的焦点弦常用结论为：

1、抛物线的焦点到它的两个焦点弦的距离相等；

2、抛物线的焦点弦是等长的；

3、抛物线的两个焦点弦的中点均位于该抛物线的准线上；

4、抛物线的焦点弦的中点到焦点的距离是抛物线的准线的1/2倍。

推导：

设抛物线方程为y2=2ax，其中a为参数，焦点为F（x1，y1），过F点的垂线为y=2ax1b。

它与y2=2ax的交点有两个M1（x1tp，0）和M2（x1-p，0）。

因为FM1=FM2，所以，y1=2ax1+b-->b=y...

抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

简介

在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

抛物线具有许多重要的应用，从抛物面天线或抛物线麦克风到汽车前照灯反射器到设计弹道导弹。它们经常用于物理，工程和许多其他领域。

e=√(1+K2)×丨(λ-1)/λ+1丨这个公式怎么推导？

这个很简单啊,

通过直线AB的

方程

和

抛物线方程

很快就得到了

F

坐标

(p/2,0),

所以AB的方程为:y=k(x-p/2)

抛物线的方程:y?=2px

<=>x=y?/(2p)

代人

直线AB的方程:

y=k(y?/(2p)-p/2

整理:y?-(2p/k)y-p?=0

这个方程的

几何

意义是直线AB与抛物线

交点

的纵坐标,

因此y0=(y1+y2)/2=p/k

所以k=p/y0

如何用抛物线焦点弦定理证明结论1、2、3？

焦点弦公式，在椭圆，双曲，抛物线中都有这个公式，如抛物线中：FA=p/(1-cosθ1653) FB=p/(1+cosθ) 可见这个是问题中回e*cosθ=|（1-λ答）/(1+ λ) | (λ=AF/BF，θ为与坐标轴夹角)的一个推论。

设焦点弦为AB，分别过A和B向相应的准线作垂线AM和BN，得到直角梯形ABNM。取AB中点C，过C作CD⊥准线，垂足为D。根据平行线等分线段定理，D为MN中点，因此CD是直角梯形ABNM的中位线。

运用

第二个公式计算焦点弦时一定要注意是同支焦点弦还是两支焦点弦。如果是同支则分母可以直接去绝对值符号。如果是两支则分母去绝对值之后要变号。判断方法是看焦点弦的倾斜角，如果倾斜角在两渐近线倾斜角之间的，则为同支焦点弦，否则为两支焦点弦。

不会出现恰好等于渐近线倾斜角的情况，因为如果直线和渐近线平行，经过焦点的直线和双曲线有且只有一个交点，不可能形成焦点弦。

抛物线焦点弦性质及推导过程：

要证结论，得先给出定义：

定义：由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形，称为抛物线。定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线,，焦点到准线的距离称为焦准距。

结论 1　抛物线是轴对称图形，准线过焦点的垂线是它的一条对称轴.?

证明

设焦点为?FF, 准线为?ll, 轴为?aa, 抛物线上有一点?PP. 过?PP?作?PP′⊥lPP′⊥l, 垂足为?P′P′.?当?PP?不在?aa?上时，作?PP?关于?aa?的对称点?QQ,?作?P′P′?关于?aa?的对称点?Q′Q′.?连接?FPFP、FQFQ. 由?a⊥la⊥l?知?PP′∥aPP′∥a, 所以?QQ′∥aQQ′∥a, 所以?QQ′⊥lQQ′⊥l. 由对称知?PP′=QQ′PP′=QQ′,?FP=FQFP=FQ, 又?FP=PP′FP=PP′, 所以?FQ=QQ′FQ=QQ′, 所以?QQ?在抛物线上, 结论得证.

定义　抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.

结论 2　设抛物线的焦点为?FF, 顶点为?OO, 焦准距为?pp, 对于抛物线上任意一点?PP,?FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos?∠OFP.

证明

设?FP=ρFP=ρ,?∠OFP=θ∠OFP=θ.

如图，当?θ>90?θ>90?时，作?FPFP?在轴上的投影，易得?ρ=p?ρcosθρ=p?ρcos?θ. 整理得?ρ=p1+cosθρ=p1+cos?θ, 即?FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos?∠OFP.

同理可证当?0?<θ<90?0?<θ<90?时，结论仍然成立.

当?θ=90?θ=90?时，PF=pPF=p, 结论仍然成立。

当?θ=0?θ=0?时，PF=p2PF=p2,?结论仍然成立.

综上，对于抛物线上任意一点?PP,?结论成立.

推论 1　设抛物线的焦准距为?pp,?过抛物线焦点?FF?的直线与抛物线交于?AA、BB?两点，则有?1AF+1BF=2p1AF+1BF=2p.

推论 2　设抛物线的顶点为?OO,?焦准距为?pp,?∠OFP=θ∠OFP=θ,?过抛物线焦点?FF?的直线与抛物线交于?AA、BB?两点，则有?AB=2psin2θAB=2psin2?θ.

结论 3　设抛物线轴与准线的交点为?KK,?过抛物线焦点?FF?的直线与抛物线交于?AA、BB?两点, 则轴平分?∠AKB∠AKB.

如图，设准线为?ll, 轴为?aa,?过?AA?作?AD⊥lAD⊥l, 交?ll?于?DD, 过 B 作?BC⊥lBC⊥l, 交?ll?于?CC.

∵∵?AD⊥lAD⊥l?且?BC⊥lBC⊥l

∴∴?AD∥aAD∥a?且?BC∥aBC∥a

∴∴?KDKC=FAFBKDKC=FAFB

又?∵∵?FA=ADFA=AD?且?FB=BCFB=BC

∴∴?KDKC=ADBCKDKC=ADBC

∴∴?△KDA?△KCB△KDA?△KCB

∴∴?∠DKA=∠CKB∠DKA=∠CKB

∴∴?轴平分?∠AKB∠AKB

结论 4　设抛物线焦点为?FF, 准线为?ll,?轴与准线的交点为?KK,?过?FF?的直线与抛物线交于?AA、BB?两点，过?AA?作?AD⊥lAD⊥l, 交?ll?于?DD, 过 B 作?BC⊥lBC⊥l, 交?ll?于?CC, 则FDFD?平分?∠KFA∠KFA,?FCFC?平分?∠KFB∠KFB,?FC⊥FDFC⊥FD.

证明

∵∵?FB=BCFB=BC,?FA=ADFA=AD

∴∴?∠AFD=∠ADF∠AFD=∠ADF,?∠BFC=∠BCF∠BFC=∠BCF

∵∵?KF∥ADKF∥AD,?KF∥BCKF∥BC

∴∴?∠KFD=∠ADF∠KFD=∠ADF,?∠KFC=∠FCB∠KFC=∠FCB

∴∴?FDFD?平分?∠KFA∠KFA,?FCFC?平分?∠KFB∠KFB

∴∴?FC⊥FDFC⊥FD

能想到的性质暂时就这么多。欢迎补充。

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